Wednesday, October 29, 2014
Saturday, October 25, 2014
សៀវភៅគណិតវិទ្យាសម្រាប់កម្រិតសាកលវិទ្យាល័យ
- សម្រាប់និស្សិតកំពុងសិក្សាផ្នែកគណិតវិទ្យា និងវិស្វករ អាចទាញយកសៀវភៅនេះ សម្រាប់សិក្សាស្រាវជ្រាវបន្ថែមបាន។
- សូមអរគុណដល់បងប្រុស Por Samnang ដែលបានផ្ញើរសៀវភៅនេះមកដល់ខ្ញុំ ដើម្បីចែករំលែកដល់សិស្ស និស្សិតខ្មែរគ្រប់រូប ធ្វើការសិក្សាស្រាវជ្រាវ។
Friday, October 24, 2014
Sunday, October 19, 2014
Maths Olympiads and Math Contests 2015
- ការប្រឡងគណិតវិទ្យា ដែលរៀបចំដោយសាលា The Grade A Plus School សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យនៅទូទាំងប្រទេសកម្ពុជាយើង នឹងមកដល់ក្នុងពេលឆាប់ៗខាងមុខនេះហើយ។
- The Canadian Senior(for Gr. 9&10 in khmer) and Intermediate Mathematics Contests(for Gr. 11&12 in khmer) (CSMC and CIMC) are two contests designed to give students the opportunity to have fun and to develop their mathematical problem solving ability.
- Format # 9 questions; 6 are answer only and 3 are full solution # marks for full solution questions assigned for form and style of presentation # 2 hours # 60 total marks
- អានពត៌មានខាងក្រោម និងត្រៀមខ្លួនសម្រាប់ចូលរួមប្រឡងប្រជែងសមត្ថភាពគណិតវិទ្យារបស់អ្នកទាំងអស់គ្នា!
- ដើម្បីយល់ដឹងឲ្យបានច្បាស់ ក៏ដូចជាទទួលបាននូវវិញ្ញាសាចេញប្រឡងនៅឆ្នាំមុនៗ សូមចូលទៅកាន់វែបសាយ http://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/csimc.html
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ CMO 1996
ចំលើយត្រូវតែ ដំណោះស្រាយមានបញ្ហាបន្តិច សូមមិត្តអ្នកអានរកវិធីដោយខ្លួនឯង!
Saturday, October 18, 2014
Friday, October 17, 2014
កម្រងវិញ្ញាសាត្រៀមប្រឡងអាហារូបករណ៍ទៅប្រទេសជប៉ុន
- កម្រងឯកសារដ៏កម្រមួយនេះ ត្រូវបានរៀបរៀង និងត្រួតពិនិត្យដោយក្រុមនិស្សិតខ្មែរមួយក្រុម ដែលជាអ្នកទទួលជ័យលាភីក្នុងការប្រឡងទៅសិក្សានៅប្រទេសជប៉ុន ក្នុងបណ្តាឆ្នាំកន្លងទៅ។ ដោយមានសណ្តានចិត្តចង់ចូលរួមចែករំលែក ក៏ដូចជាចង់ផ្តល់ជាឯកសារសម្រាប់ប្អូនៗជំនាន់ក្រោយៗ ត្រៀមក្នុងការប្រឡងយកអាហារូបករណ៍ទៅសិក្សានៅប្រទេសជប៉ុន សៀវភៅមួយក្បាលនេះ ក៏បានលេចចេញជារូបរាងឡើង ក្រោមការសហការ មូលមតិគ្នារបស់ក្រុមសិស្សនិស្សិតខ្មែរយើង ដែលបានជាប់ជាស្ថាពរក្នុងការប្រឡងនេះ។
- ខ្ញុំផ្ទាល់ ពិតជាសូមអរគុណដ៏ជ្រាលជ្រៅ ចំពោះសណ្តានចិត្តរបស់ក្រុមនិស្សិតខ្មែរយើងនេះ ដែលបានខិតខំទាំងកម្លាំងកាយចិត្ត ដើម្បីសម្រេចបាននូវស្នាដៃដ៏ប្រណិតនេះឡើង សម្រាប់បន្សល់ដល់កូនខ្មែរគ្រប់ជំនាន់ ហាត់រៀនទៅថ្ងៃខាងមុខ។
- សូមអរគុណដល់អ្នកដែលបានចែកចាយឯកសារនេះមកកាន់ប្លក់របស់ខ្ញុំ!
Thursday, October 16, 2014
Video Clip: My Beautiful Woman [Thai Clip]
♥I love my mom, my sister and really respect to them. How about you?
♥Try to know more about her and you will know that she do a lot of stuff and just for you good.
♥Let's enjoy beautiful Thai clip: "My Beautiful Woman"
♥Try to know more about her and you will know that she do a lot of stuff and just for you good.
♥Let's enjoy beautiful Thai clip: "My Beautiful Woman"
Wednesday, October 15, 2014
Tuesday, October 14, 2014
Monday, October 13, 2014
Sunday, October 12, 2014
Saturday, October 11, 2014
Friday, October 10, 2014
Function Equation: Problems Number 1
ប្រធានលំហាត់៖
រកគ្រប់បណ្តាអនុគមន៍ $f:\mathbb R^{+}\to\mathbb R^{+}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
$f(ab)f(bc)f(ca)f(a+b)f(b+c)f(c+a)=2014$ ចំពោះគ្រប់ $a,b,c>0$
ដំណោះស្រាយ
+ឲ្យ $a=b=c=t$ យើងបានៈ $\left[f(x^2)f(2t)\right]^3=2014$
ទាញបាន $f(t^2)f(2t)=\sqrt[3]{2014}$
+យក $a=b=t$ និង $c=1$ ទាញបានៈ $f^2(t)f^2(t^2)f(2t)f^2(t+1)=2014)$
នាំឲ្យយើងបាន $f(t)f(t+1)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $t$ ដោយ $t+1$ ទាញបានៈ $f(t+1)f(t+2)=\sqrt[3]{2014}$
នាំឲ្យ $f(t)=f(t+2)$
+យើងយក $c=1$ យើងបានៈ $f(ab)f(a)f(b)f(a+b)f(a+1)f(b+1)=2014$
ទាញបាន $f(xy)f(x+y)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $b=2$ និង $b=4$ តាមលំដាប់ យើងបានៈ
\[\begin{cases}f(2a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\\f(4a)f(a+4)=\sqrt[3]{2014}\end{cases}\ \Rightarrow\ f(2a)=f(4a)\]
ដោយ $f(t)=f(t+2)$
ទាញបាន $f(a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\ \Rightarrow\ f(a)=\sqrt[6]{2014}$
ដូចនេះ អនុគមន៍ដែលត្រូវរកគឺ $f(a)=\sqrt[6]{2014}$
រកគ្រប់បណ្តាអនុគមន៍ $f:\mathbb R^{+}\to\mathbb R^{+}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
$f(ab)f(bc)f(ca)f(a+b)f(b+c)f(c+a)=2014$ ចំពោះគ្រប់ $a,b,c>0$
ដំណោះស្រាយ
+ឲ្យ $a=b=c=t$ យើងបានៈ $\left[f(x^2)f(2t)\right]^3=2014$
ទាញបាន $f(t^2)f(2t)=\sqrt[3]{2014}$
+យក $a=b=t$ និង $c=1$ ទាញបានៈ $f^2(t)f^2(t^2)f(2t)f^2(t+1)=2014)$
នាំឲ្យយើងបាន $f(t)f(t+1)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $t$ ដោយ $t+1$ ទាញបានៈ $f(t+1)f(t+2)=\sqrt[3]{2014}$
នាំឲ្យ $f(t)=f(t+2)$
+យើងយក $c=1$ យើងបានៈ $f(ab)f(a)f(b)f(a+b)f(a+1)f(b+1)=2014$
ទាញបាន $f(xy)f(x+y)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $b=2$ និង $b=4$ តាមលំដាប់ យើងបានៈ
\[\begin{cases}f(2a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\\f(4a)f(a+4)=\sqrt[3]{2014}\end{cases}\ \Rightarrow\ f(2a)=f(4a)\]
ដោយ $f(t)=f(t+2)$
ទាញបាន $f(a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\ \Rightarrow\ f(a)=\sqrt[6]{2014}$
ដូចនេះ អនុគមន៍ដែលត្រូវរកគឺ $f(a)=\sqrt[6]{2014}$
France Team Selection Test 2014: Number Theory P3
ប្រធានលំហាត់៖
ស្រាយបញ្ជាក់ថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ច្រើនរាប់មិនអស់ ដើម្បីឲ្យតួចែកបឋមធំបំផុតរបស់ $n^4+n^2+1$ ស្មើនឹងតួចែកបឋមធំបំផុតរបស់ $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.
ដំណោះស្រាយ
+ យើងមានៈ $k^4+k^2+1=(k^2+k+1)(k^2+1-k)$ ចំពោះ $k$ ជាចំនួនគត់
ទាញបានៈ
$.n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1)\\ .(n+1)^4+(n+1)^2+1=\left[(n+1)^2+(n+1)+1\right]\left[(n+1)^2-(n+1)+1\right]\\=\left(n^2+3n+3\right)\left(n^2+n+1\right)$
+ យើងនឹងស្រាយថាៈ $\left(n^2+3n+3,n^2+1-n\right)=1$
តាង $\left(n^2+3n+3,\ n^2-n+1\right)=d$
$\Rightarrow\ d|2n+4\ \Rightarrow\ d|n+2\ \Leftrightarrow\ d|(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\ \Rightarrow\ d|1\ \Rightarrow\ d=1\\ \Rightarrow\ \left(n^4+n^2+1,\ (n+1)^4+(n+1)^2+1\right)=n^2+n+1$
បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។
ដូចនេះ មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ច្រើនរាប់មិនអស់។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ច្រើនរាប់មិនអស់ ដើម្បីឲ្យតួចែកបឋមធំបំផុតរបស់ $n^4+n^2+1$ ស្មើនឹងតួចែកបឋមធំបំផុតរបស់ $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.
ដំណោះស្រាយ
+ យើងមានៈ $k^4+k^2+1=(k^2+k+1)(k^2+1-k)$ ចំពោះ $k$ ជាចំនួនគត់
ទាញបានៈ
$.n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1)\\ .(n+1)^4+(n+1)^2+1=\left[(n+1)^2+(n+1)+1\right]\left[(n+1)^2-(n+1)+1\right]\\=\left(n^2+3n+3\right)\left(n^2+n+1\right)$
+ យើងនឹងស្រាយថាៈ $\left(n^2+3n+3,n^2+1-n\right)=1$
តាង $\left(n^2+3n+3,\ n^2-n+1\right)=d$
$\Rightarrow\ d|2n+4\ \Rightarrow\ d|n+2\ \Leftrightarrow\ d|(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\ \Rightarrow\ d|1\ \Rightarrow\ d=1\\ \Rightarrow\ \left(n^4+n^2+1,\ (n+1)^4+(n+1)^2+1\right)=n^2+n+1$
បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។
ដូចនេះ មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ច្រើនរាប់មិនអស់។
Thursday, October 9, 2014
Geometry Problem: Number 1
ប្រធានលំហាត់៖
គេឲ្យត្រីកោណស្រួច $ABC$ មានបណ្តាកំពស់ $AA^{\prime},BB^{\prime},CC^{\prime}$ កាត់គ្នាត្រង់ $H$ ។
តាង $S_a,\ S_b,\ S_c$ តាមលំដាប់ ជាក្រឡាផ្ទៃរបស់ត្រីកោណ $AB^{\prime}C^{\prime},\ BC^{\prime}A^{\prime},\ CA^{\prime}B^{\prime}$។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{CH^2}{S_c}$
ដំណោះស្រាយ
យើងមាន
\[\dfrac{S_a}{S_{ABC}}=\dfrac{AB^{\prime}}{AC}\cdot\dfrac{AC^{\prime}}{AB}\ \Rightarrow\ \dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{AH^2\cdot AB\cdot AC}{S_{ABC}\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}}\quad\quad (1)\\ \dfrac{S_b}{S_{ABC}}=\dfrac{BC^{\prime}}{AB}\cdot \dfrac{BA^{\prime}}{BC}\ \Rightarrow\ \dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{BH^2\cdot AB\cdot BC}{S_{ABC}\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}}\quad\quad (2)\\ \dfrac{S_c}{S_{ABC}}=\dfrac{CA^{\prime}}{BC}\cdot \dfrac{CB^{\prime}}{AC}\ \Rightarrow\ \dfrac{CH^2}{S_c}=\dfrac{CH^2\cdot AC\cdot BC}{S_{ABC}\cdot CB^{\prime}\cdot CA^{\prime}}\quad\quad (3) \]
ដូចនោះ លំហាត់ក្លាយទៅជាការស្រាយបញ្ជាក់ថា
\[\dfrac{AH^2.AB.AC}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}\]
យើងងាយនឹងស្រាយបានថា $\triangle AA^{\prime}C\sim\triangle BB^{\prime}C$ (ម.ម)
\[\Rightarrow\ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{A^{\prime}C}=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\ \Rightarrow\ \begin{cases} BC=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\cdot AC \\ B^{\prime}C=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\cdot A^{\prime}C \\ A^{\prime}C=\dfrac{AA^{\prime}}{BB^{\prime}}\cdot B^{\prime}C \\ AC=\dfrac{AA^{\prime}}{BB^{\prime}}. BC\end{cases}\]
ដូចនេះ យើងបាន $\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\left(\dfrac{CH.AC}{A^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{CH\cdot BC}{B^{\prime}C}\right)^2 $
ស្រាយដូចគ្នាដែរ យើងបាន
\[\dfrac{BH^2. AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\left(\dfrac{BH.BC}{BC^{\prime}}\right)^2.\dfrac{AH^2.AC.AB}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\left(\dfrac{AH\cdot AC}{AC^{\prime}}\right)^2\]
ដូចនេះ
$\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \left(\dfrac{CH.BC}{B^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{BH.BC}{BC^{\prime}}\right)^2$
$\Leftrightarrow\ \dfrac{CH}{B^{\prime}C}=\dfrac{BH}{BC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \triangle C^{\prime}HB\sim\triangle B^{\prime}HC$ (ម.ម)
ហើយ
$\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\dfrac{AH^2.AC.AB}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \left(\dfrac{CH.AC}{A^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{AH.AC}{AC^{\prime}}\right)^2$
$\dfrac{CH}{A^{\prime}C}=\dfrac{AH}{AC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \triangle C^{\prime}HA\sim\triangle A^{\prime}HC$ (ម.ម)
ដូចនេះ $\dfrac{AH^2.AB.AC}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}$
យើងបានបញ្ហាត្រូវស្រាយបញ្ជាក់!
របៀបទី២៖
យើងងាយនឹងស្រាយបានថា
$\triangle CC^{\prime}B\sim \triangle AA^{\prime}B$ (ម.ម)$\ \Rightarrow \dfrac{BC^{\prime}}{BA^{\prime}}=\dfrac{BC}{BA}\ \Rightarrow\ \triangle A^{\prime}BC^{\prime}\sim\triangle ABC$ (ម.ម)
ដូចគ្នាដែរ យើងបាន $\triangle AB^{\prime}C^{\prime}\sim\triangle ABC,\ \triangle A^{\prime}B^{\prime}C\sim\triangle ABC$
យើងទាញបាន $\triangle A^{\prime}BC^{\prime}\sim\triangle AB^{\prime}C^{\prime}$ $\Rightarrow\dfrac{S_a}{S_b}=\dfrac{A{B^{\prime}}^2}{A^{\prime}B^2}$
ហើយដោយមាន $\triangle AHB^{\prime}\sim\triangle BHA^{\prime}$ (ម.ម) $\ \Rightarrow\ \dfrac{AB^{\prime}}{A^{\prime}B}=\dfrac{AH}{BH}$
ដូចនេះ $\dfrac{S_a}{S_b}=\dfrac{A{B^{\prime}}^2}{A^{\prime}B}^2=\dfrac{AH^2}{BH^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{BH^2}{S_b}$
ស្រាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរ យើងបាន $\dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{CH^2}{S_c}$
យើងបាន បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់រួចរាល់។
គេឲ្យត្រីកោណស្រួច $ABC$ មានបណ្តាកំពស់ $AA^{\prime},BB^{\prime},CC^{\prime}$ កាត់គ្នាត្រង់ $H$ ។
តាង $S_a,\ S_b,\ S_c$ តាមលំដាប់ ជាក្រឡាផ្ទៃរបស់ត្រីកោណ $AB^{\prime}C^{\prime},\ BC^{\prime}A^{\prime},\ CA^{\prime}B^{\prime}$។
ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{CH^2}{S_c}$
ដំណោះស្រាយ
\[\dfrac{S_a}{S_{ABC}}=\dfrac{AB^{\prime}}{AC}\cdot\dfrac{AC^{\prime}}{AB}\ \Rightarrow\ \dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{AH^2\cdot AB\cdot AC}{S_{ABC}\cdot AB^{\prime}\cdot AC^{\prime}}\quad\quad (1)\\ \dfrac{S_b}{S_{ABC}}=\dfrac{BC^{\prime}}{AB}\cdot \dfrac{BA^{\prime}}{BC}\ \Rightarrow\ \dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{BH^2\cdot AB\cdot BC}{S_{ABC}\cdot BC^{\prime}\cdot BA^{\prime}}\quad\quad (2)\\ \dfrac{S_c}{S_{ABC}}=\dfrac{CA^{\prime}}{BC}\cdot \dfrac{CB^{\prime}}{AC}\ \Rightarrow\ \dfrac{CH^2}{S_c}=\dfrac{CH^2\cdot AC\cdot BC}{S_{ABC}\cdot CB^{\prime}\cdot CA^{\prime}}\quad\quad (3) \]
ដូចនោះ លំហាត់ក្លាយទៅជាការស្រាយបញ្ជាក់ថា
\[\dfrac{AH^2.AB.AC}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}\]
យើងងាយនឹងស្រាយបានថា $\triangle AA^{\prime}C\sim\triangle BB^{\prime}C$ (ម.ម)
\[\Rightarrow\ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{A^{\prime}C}=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\ \Rightarrow\ \begin{cases} BC=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\cdot AC \\ B^{\prime}C=\dfrac{BB^{\prime}}{AA^{\prime}}\cdot A^{\prime}C \\ A^{\prime}C=\dfrac{AA^{\prime}}{BB^{\prime}}\cdot B^{\prime}C \\ AC=\dfrac{AA^{\prime}}{BB^{\prime}}. BC\end{cases}\]
ដូចនេះ យើងបាន $\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\left(\dfrac{CH.AC}{A^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{CH\cdot BC}{B^{\prime}C}\right)^2 $
ស្រាយដូចគ្នាដែរ យើងបាន
\[\dfrac{BH^2. AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\left(\dfrac{BH.BC}{BC^{\prime}}\right)^2.\dfrac{AH^2.AC.AB}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\left(\dfrac{AH\cdot AC}{AC^{\prime}}\right)^2\]
ដូចនេះ
$\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \left(\dfrac{CH.BC}{B^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{BH.BC}{BC^{\prime}}\right)^2$
$\Leftrightarrow\ \dfrac{CH}{B^{\prime}C}=\dfrac{BH}{BC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \triangle C^{\prime}HB\sim\triangle B^{\prime}HC$ (ម.ម)
ហើយ
$\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}=\dfrac{AH^2.AC.AB}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \left(\dfrac{CH.AC}{A^{\prime}C}\right)^2=\left(\dfrac{AH.AC}{AC^{\prime}}\right)^2$
$\dfrac{CH}{A^{\prime}C}=\dfrac{AH}{AC^{\prime}}\ \Leftrightarrow\ \triangle C^{\prime}HA\sim\triangle A^{\prime}HC$ (ម.ម)
ដូចនេះ $\dfrac{AH^2.AB.AC}{AB^{\prime}.AC^{\prime}}=\dfrac{BH^2.AB.BC}{BC^{\prime}.BA^{\prime}}=\dfrac{CH^2.AC.BC}{CB^{\prime}.CA^{\prime}}$
យើងបានបញ្ហាត្រូវស្រាយបញ្ជាក់!
របៀបទី២៖
យើងងាយនឹងស្រាយបានថា
$\triangle CC^{\prime}B\sim \triangle AA^{\prime}B$ (ម.ម)$\ \Rightarrow \dfrac{BC^{\prime}}{BA^{\prime}}=\dfrac{BC}{BA}\ \Rightarrow\ \triangle A^{\prime}BC^{\prime}\sim\triangle ABC$ (ម.ម)
ដូចគ្នាដែរ យើងបាន $\triangle AB^{\prime}C^{\prime}\sim\triangle ABC,\ \triangle A^{\prime}B^{\prime}C\sim\triangle ABC$
យើងទាញបាន $\triangle A^{\prime}BC^{\prime}\sim\triangle AB^{\prime}C^{\prime}$ $\Rightarrow\dfrac{S_a}{S_b}=\dfrac{A{B^{\prime}}^2}{A^{\prime}B^2}$
ហើយដោយមាន $\triangle AHB^{\prime}\sim\triangle BHA^{\prime}$ (ម.ម) $\ \Rightarrow\ \dfrac{AB^{\prime}}{A^{\prime}B}=\dfrac{AH}{BH}$
ដូចនេះ $\dfrac{S_a}{S_b}=\dfrac{A{B^{\prime}}^2}{A^{\prime}B}^2=\dfrac{AH^2}{BH^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{AH^2}{S_a}=\dfrac{BH^2}{S_b}$
ស្រាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរ យើងបាន $\dfrac{BH^2}{S_b}=\dfrac{CH^2}{S_c}$
យើងបាន បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់រួចរាល់។
Wednesday, October 8, 2014
Cambodia's IJSO 2014 Team Selection Test Result
- អបអរសាទរដល់ប្អូនៗ ដែលបានជាប់នៅក្នុងវគ្គជម្រុះជ្រើសរើសក្រុមតំណាងកម្ពុជា សម្រាប់ការប្រឡងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអូឡាំព្យាដនៅឆ្នាំនេះ!
- ជូនពរឲ្យប្អូនៗ សំណាងល្អ និងជោគជ័យក្នុងការប្រឡងនាពេលខាងមុខនេះ!
- សង្ឃឹមថា ខាងក្រសួងអប់រំនឹងអាចបញ្ជូនឲ្យប្អូនៗ ទៅចូលរួមប្រឡងនៅប្រទេសអាស្សង់ទីន (Argentina) ដើម្បីបញ្ចេញសមត្ថភាពដែលប្អូន បានខិតខំប្រឹងប្រែងរៀនសូត្រអស់ជាច្រើនឆ្នាំមកនេះ។
Tuesday, October 7, 2014
Free Maths book: Higher Engineering Mathematics - 5E -Theory+Solutions Manual
- សៀវភៅគណិតវិទ្យាសម្រាប់និស្សិតវិស្វករ (ទ្រឹស្តី និង ចម្លើយលំហាត់)។
- អ្នកអាចទាញយកដោយសេរី តាមរយៈតំនភ្ជាប់នៅខាងក្រោមរូបភាព!
46th Canada MO: Problem Number 1
ប្រធានលំហាត់៖
គេឲ្យ $ a_1,\ a_2,\ ...,\ a_n$ ជាបណ្តាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដែលមានផលគុណស្មើ 1។
បង្ហាញថាផលបូកៈ
\[\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\dfrac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+...+\dfrac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)}\]
គឺធំជាង រឺ ស្មើនឹង $\dfrac{2^n-1}{2^n}$ ។
ដំណោះស្រាយ
$\dfrac{a_m}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}$
$=\dfrac{1+a_m}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}-\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}$
$=\dfrac{1}{(1+a_1)...(1+a_{m-1})}-\dfrac{1}{(1+a_1)...(1+a_m)}$
ដូចនេះ បើយើងយក $b_j=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_j)$, ដែល $b_0=0$, ពេលនោះយើងបានផលបូក
\[\sum_{j=1}^{n}\dfrac{a_j}{(1+a_1)...(1+a_j)}=\sum_{j=1}^{n}(\dfrac{1}{b_j-1}-\dfrac{1}{b_j})=1-\dfrac{1}{b_n}\]
យកចិត្តទុកដាក់ថា $b_n=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\ge(2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})...(2\sqrt{a_n})=2^n$
ដែល សមភាពកើតមានលុះត្រាតែគ្រប់ $a_i$ ស្មើនឹង $1$ ។ ដូចនេះ,
\[1-\dfrac{1}{b_n}\ge 1-\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\]
ដើម្បីដឹងថាតម្លៃតូចបំផុតនេះ អាចកើតមានរឺទេ, គឺយើងជំនួនគ្រប់ $a_i=1$ ចូល យើងបានៈ
\[\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}+...+1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\]
បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។
Subscribe to:
Posts
(
Atom
)