Cambodia MO 2012: Polynomial Problem

Function Equation: Problems Number 1

ប្រធានលំហាត់៖
រកគ្រប់បណ្តាអនុគមន៍ $f:\mathbb R^{+}\to\mathbb R^{+}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ៈ
$f(ab)f(bc)f(ca)f(a+b)f(b+c)f(c+a)=2014$ ចំពោះគ្រប់ $a,b,c>0$

ដំណោះស្រាយ
+ឲ្យ $a=b=c=t$ យើងបានៈ $\left[f(x^2)f(2t)\right]^3=2014$
ទាញបាន $f(t^2)f(2t)=\sqrt[3]{2014}$
+យក $a=b=t$ និង $c=1$ ទាញបានៈ $f^2(t)f^2(t^2)f(2t)f^2(t+1)=2014)$
នាំឲ្យយើងបាន $f(t)f(t+1)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $t$ ដោយ $t+1$ ទាញបានៈ $f(t+1)f(t+2)=\sqrt[3]{2014}$
នាំឲ្យ $f(t)=f(t+2)$
+យើងយក $c=1$ យើងបានៈ $f(ab)f(a)f(b)f(a+b)f(a+1)f(b+1)=2014$
ទាញបាន $f(xy)f(x+y)=\sqrt[3]{2014}$
+ជំនួស $b=2$ និង $b=4$ តាមលំដាប់ យើងបានៈ
\[\begin{cases}f(2a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\\f(4a)f(a+4)=\sqrt[3]{2014}\end{cases}\ \Rightarrow\ f(2a)=f(4a)\]
ដោយ $f(t)=f(t+2)$
ទាញបាន $f(a)f(a+2)=\sqrt[3]{2014}\ \Rightarrow\ f(a)=\sqrt[6]{2014}$
ដូចនេះ អនុគមន៍ដែលត្រូវរកគឺ $f(a)=\sqrt[6]{2014}$

Maths Exercise #9: Let enjoy function equation system

This week so busy, just can post without checking your solution in maths group, so just do it and i will check your full solution later ^_^