ប្រធានលំហាត់៖
គេឲ្យ a_1,\ a_2,\ ...,\ a_n ជាបណ្តាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដែលមានផលគុណស្មើ 1។
បង្ហាញថាផលបូកៈ
\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\dfrac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+...+\dfrac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)}
គឺធំជាង រឺ ស្មើនឹង \dfrac{2^n-1}{2^n} ។
ដំណោះស្រាយ
\dfrac{a_m}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}
=\dfrac{1+a_m}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}-\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_m)}
=\dfrac{1}{(1+a_1)...(1+a_{m-1})}-\dfrac{1}{(1+a_1)...(1+a_m)}
ដូចនេះ បើយើងយក b_j=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_j), ដែល b_0=0, ពេលនោះយើងបានផលបូក
\sum_{j=1}^{n}\dfrac{a_j}{(1+a_1)...(1+a_j)}=\sum_{j=1}^{n}(\dfrac{1}{b_j-1}-\dfrac{1}{b_j})=1-\dfrac{1}{b_n}
យកចិត្តទុកដាក់ថា b_n=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\ge(2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})...(2\sqrt{a_n})=2^n
ដែល សមភាពកើតមានលុះត្រាតែគ្រប់ a_i ស្មើនឹង 1 ។ ដូចនេះ,
1-\dfrac{1}{b_n}\ge 1-\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}
ដើម្បីដឹងថាតម្លៃតូចបំផុតនេះ អាចកើតមានរឺទេ, គឺយើងជំនួនគ្រប់ a_i=1 ចូល យើងបានៈ
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}+...+1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}
បញ្ហាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។