Maths Exercise #41: Requested translate exercise, Inequality

ប្រធានលំហាត់៖
គេតាង $a,b,c$ ជាប្រវែងជ្រុងទាំងបី ហើយ $x,y,z$ ជាប្រវែងបន្ទាត់ពុះក្នុងទាំងបីរបស់ត្រីកោណ $\Delta ABC$។
ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

ដំណោះស្រាយ
តាង $AI=x$ ជាបន្ទាត់ពុះក្នុងរបស់ $\Delta ABC$ ,យើងបានក្រឡាផ្ទៃ$\Delta ABC$ ស្មើនឹងៈ
\[S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}xc\sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}xb\sin\dfrac{A}{2}\\ \Rightarrow 2bc\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=x(b+c)\sin\dfrac{A}{2}\\ \Rightarrow x=\dfrac{2bc\cos\dfrac{A}{2}}{b+c}<\dfrac{2bc}{b+c}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x}>\dfrac{b+c}{2bc}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\quad (1)\]
ដូចគ្នាដែរ យើងបានៈ $\dfrac{1}{y}>\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right)\ \ \  (2);\quad \dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ \ \ (3)$
បូកអង្គនឹងអង្គនៃវិសមភាព$(1),(2),(3)$ យើងបានៈ
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\]